Pour retirer la TVA d'un prix TVAC, on divise par (1 + taux de TVA), comme dans l'exemple. On ne soustrait pas le pourcentage.
Le bénéfice est toujours exprimé HTVA (hors TVA).

Le prix TVAC est toujours plus grand que le prix HTVA.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 2/12

Chapitre 2

Les intérêts simples

Je reconnais : « intérêt simple », un seul capital, pas de versements réguliers, durée courte exprimée en jours ou en mois. Les intérêts ne produisent pas d'intérêts.

Formule de base

I = C₀ · i · n

Valeur acquise

C_n = C₀ + I = C₀ (1 + i · n)

C₀

Capitalisation : × (1 + i · n)

Actualisation : ÷ (1 + i · n)

C_n

Trouver l'inconnue

Taux, si I connu

i = IC₀ · n

Durée, si I connu

n = IC₀ · i

Taux, si C_n connu

i = C_nC₀ − 1n

Durée, si C_n connu

n = C_nC₀ − 1i

Méthode en 4 étapes

Placement ou remboursement ?

Si n est en jours : placement → année réelle (365/366 j) ; remboursement → année fictive (360 j = 12 × 30 j). Convention du cours.

i et n dans la même unité ?

Oui → étape 4. Non → étape 3.

Adapter

Fractionner la période n pour l'exprimer dans l'unité du taux : 146 j = 146/365 an ; 9 mois = 9/12 an.

Calculer

Remplacer, calculer, vérifier l'ordre de grandeur.

Exemple résolu

En pratique : une entreprise place quelques mois un excédent de trésorerie sur un compte à terme.

5 000 € placés à 3 % par an pendant 146 jours

Placement, n en jours → année réelle : n = 146/365 = 0,4 an
I = 5 000 × 0,03 × 0,4 = 60 €
C_n = 5 000 + 60 = 5 060 €

Pièges fréquents

Dans les formules, le taux s'écrit en décimal : 3 % devient 0,03.
Une durée donnée en jours ou en mois doit être convertie dans l'unité du taux (souvent l'année) avant le calcul.

Le capital final C_n est plus grand que le capital initial C₀.

Sur quelques mois, l'intérêt reste petit par rapport au capital placé.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 3/12

Chapitre 3

Les intérêts composés

Je reconnais : « intérêts composés », « capitalisés chaque année / chaque mois », durée de plusieurs années, « taux équivalent ». Les intérêts produisent des intérêts.

Valeur acquise

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

Valeur actuelle

C₀ = C_n(1 + i)ⁿ

Trouver le taux

i = (C_nC₀)^1/n − 1

Trouver la durée

n = log(C_n / C₀)log(1 + i)

Les taux équivalents

Taux long → taux court (ex. annuel → mensuel)

i_C = (1 + i_L)^1/p − 1

Taux court → taux long (ex. mensuel → annuel)

i_L = (1 + i_C)^p − 1

p = nombre de petites périodes dans la grande : dans une année il y a : 2 semestres · 4 trimestres
12 mois et 365 (ou 360) jours · voir p. 12
Attention : p ≠ n.

Arrondi : un taux équivalent s'arrondit à 6 décimales en % (0,327374 %), soit 8 en décimal (0,00327374). Le résultat final s'arrondit au cent.

Exemple résolu

En pratique : faire fructifier une épargne sur plusieurs années, ou comparer deux offres de placement.

10 000 € placés à 4 % par an pendant 5 ans

C_n = 10 000 × 1,04⁵ = 12 166,53 €
Taux mensuel équivalent : 1,04^1/12 − 1 = 0,327374 % (0,00327374)

Pièges fréquents

Pour passer d'un taux annuel à un taux mensuel, on ne divise pas par 12 : on prend le taux équivalent i_C. 4 % ÷ 12 = 0,333333 %, alors que le bon taux mensuel est 0,327374 %.
Pour comparer deux capitaux, on les ramène d'abord à la même date (une ligne du temps aide).

Au-delà d'un an, le capital obtenu en intérêts composés est plus grand qu'en intérêts simples.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 4/12

Chapitre 4 · Annuités (crédits)

Annuités de remboursement

Je reconnais : « emprunt », « mensualités constantes », « crédit hypothécaire ».
« Taux de chargement » ou « TAEG » → forcément un prêt à tempérament, toujours calculé en mensuel.

Annuités constantes

Ex. : crédit hypothécaire, prêt d'investissement · intérêts sur le capital restant dû

Somme empruntée

S = a · 1 −1(1 + i)ⁿi

Terme constant

a = S · i1 −1(1 + i)ⁿ

Prêt à tempérament

Modèle du cours à taux de chargement · intérêts sur le capital initial

Mensualité

M = Sn + S · c

TAEG (approximation)

TAEG ≈ 24 · c · nn + 1

n toujours en mois
c = taux de chargement mensuel

Tableau d'amortissement · 25 000 € sur 5 ans à 6 %/an

Dates :0 : on reçoit S→1 : 1^er a→2 : a→ … →n : dernier aterme échu (fin de période) · p. 11

Années	Capital restant dûCRD	IntérêtsI	Capital amortiCA (part du capital remboursée)	Termes de l'annuitéa (constants)
arrondi à l'€	Période 1 : CRD = S Dès la période 2 : CRD₋₁ − CA₋₁ ↓ diminue	CRD × i ↓ diminue	a − I ↑ augmente	a = S · i1 −1(1 + i)ⁿ
1	1S= 25 000	21 500	34 435	5 935
2	420 565	1 234	4 701	5 935
3	15 864	952	4 983	5 935
4	10 881	653	5 282	5 935
5	5 599	336	5 599	5 935
	0	4 675	25 000	29 675

Pas à pas : la 1^re ligne, puis le CRD de la 2^e période

1CRD₁ = S

= 25 000

→

2I₁ = CRD₁ × i

25 000 × 0,06 = 1 500

→

3CA₁ = a − I₁

5 935 − 1 500 = 4 435

→

4CRD₂ = CRD₁ − CA₁

25 000 − 4 435 = 20 565

⚠ Attention, taux équivalent : avec des termes mensuels, on calcule I = CRD × i_C avec le taux mensuel équivalent (8 décimales, jamais i ÷ 12), et n est en mois.

Exemple résolu

Annuités constantes (tableau) : a = 5 934,91 € (5 935 € dans le tableau) ; intérêts = 4 675 €
Tempérament : 6 000 €, 24 mois, c = 0,4 % → M = 250 + 24 = 274 € ; TAEG ≈ 9,22 %

Pièges fréquents

Taux annuel et mensualités : on convertit d'abord le taux en taux mensuel équivalent.
Le taux de chargement (0,4 % par mois) n'est pas le TAEG (≈ 9,22 % par an).

Le total remboursé a × n dépasse la somme empruntée S.

Le capital restant dû finit à 0.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 5/12

Chapitre 4 · Annuités (placements)

Annuité de placement

Je reconnais : « épargner », « verser chaque mois », « capital constitué ».
Annuités + intérêts → toujours des intérêts composés.

① Annuité : un versement a à chaque période, jusqu'au dernier

② Puis placement en une seule fois

· · ·

intérêts composés, sans nouveau versement

période 1

période 2

période 3

…

période n

C_n

valeur acquise

début

C₀

capital placé

n périodes de placement

fin

C_n

capital final

① Valeur acquise de l'annuité

au dernier versement · n = nombre de versements

C_n = a · (1 + i)ⁿ − 1i

devient

C_n = C₀

② Intérêts composés

n = périodes de placement

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

La phase ② n'est pas toujours demandée. On l'ajoute seulement si l'énoncé dit que le capital reste placé après le dernier versement (« sans nouveau versement », « quelle somme dans 5 ans ? »). Sinon, la réponse est le C_n de ①.
Attention à la date : la formule donne la valeur au moment du dernier versement. Une période plus tard, le capital vaut C_n × (1 + i)¹. Schéma p. 11

Total versé et intérêts gagnés

Total versé = a × n
Intérêts = C_n − a × n

Versement nécessaire pour un objectif

a = C_n · i(1 + i)ⁿ − 1

Méthode : ① a, i et n dans la même période ? → ② sinon, exprimer n et i dans la période de a (taux équivalent i_C) → ③ calculer et interpréter.

Arrondi : taux équivalent à 6 décimales en % (0,165158 %), soit 8 en décimal (0,00165158) ; résultat final au cent.

Exemple résolu

En pratique : constituer un capital pour un projet ou pour la pension en versant chaque mois le même montant.

100 € par mois pendant 10 ans à 2 %/an

a mensuel → i = 1,02^1/12 − 1 = 0,165158 % ;
n = 120 mois
C_n = 100 × (1,00165158¹²⁰ − 1) / 0,00165158 ≈ 13 259,68 €
Versé : 12 000 € → intérêts gagnés ≈ 1 259,68 €

Pièges fréquents

Versements mensuels : la durée n s'exprime en mois, pas en années.
Pour une épargne, on utilise la formule de l'annuité de placement, pas celle du crédit hypothécaire.

Le capital constitué C_n est plus grand que le total versé a × n : la différence, ce sont les intérêts.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 6/12

Aide-mémoire

Le formulaire complet

Pourcentages

Taux de marge = BPA (en %)

Taux de marque = BPV (en %)

TVA

P_TVAC = P_HTVA × (1 + tx TVA100)

P_HTVA = P_TVAC ÷ (1 + tx TVA100)

III

Intérêts simples

I = C₀ · i · n

C_n = C₀ (1 + i·n)

i = C_nC₀ − 1n

n = C_nC₀ − 1i

Intérêts composés

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

C₀ = C_n(1 + i)ⁿ

i = (C_nC₀)^1/n − 1

n = log(C_n/C₀)log(1 + i)

Taux équivalents

i_C = (1 + i_L)^1/p − 1

i_L = (1 + i_C)^p − 1

Annuités constantes (crédit)

S = a · 1 −1(1 + i)ⁿi

a = S · i1 −1(1 + i)ⁿ

VII

Prêt à tempérament

M = Sn + S · c

TAEG ≈ 24 · c · nn + 1

VIII

Annuité de placement

C_n = a · (1 + i)ⁿ − 1i

a = C_n · i(1 + i)ⁿ − 1

Rappels qui évitent 80 % des erreurs

Taux en décimal : 3 % = 0,03
Placement → 365/366 j · Remboursement → 360 j (convention du cours)
i, n (et a) dans la même période
jamais taux ÷ 12 en composés
Arrondis : taux équivalents 8 décimales
6 décimales en %.
Résultat finale 2 décimales
Arrondir le moins souvent possible

Symboles

C₀ Valeur actuelle ou capital initial (€) · C_n Valeur acquise ou capital final (€)
i taux (%)
n nombre de périodes
a terme d'annuité (€)
S somme empruntée (€)
M mensualité
c taux de chargement
p sous-périodes

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 7/12

Je cherche… dans quel chapitre ?

↓ inconnue · chapitre →— : pas ici

Intérêts simples

p. 3

Intérêts composés

p. 4

Annuités constantes

crédit · p. 5

Prêt à tempérament

taux de chargement · p. 5

Annuité de placement

p. 6

Iintérêts (€)

I = C₀ · i · n

I = C_n − C₀

I = a · n − S

I = M · n − S

I = C_n − a · n

C_ncapital final (€)

C_n = C₀ (1 + i · n)

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

—

C_n = a · (1 + i)ⁿ − 1i

C₀capital initial (€)

C₀ = C_n1 + i · n

C₀ = C_n(1 + i)ⁿ

—

i, c, TAEGtaux (%) · c : chargement mensuel

i = IC₀ · n

i = C_nC₀ − 1n

i = (C_nC₀)^1/n − 1

—

c = M − SnS = MS − 1n

c = TAEG · (n + 1)24 · n

TAEG ≈ 24 · c · nn + 1

—

i_C / i_Ltaux équivalents

—

i_C = (1 + i_L)^1/p − 1

i_L = (1 + i_C)^p − 1

i_C = (1 + i_L)^1/p − 1

i_L = (1 + i_C)^p − 1

toujours en mensuel

i_C = (1 + i_L)^1/p − 1

i_L = (1 + i_C)^p − 1

npériodes

n = IC₀ · i

n = C_nC₀ − 1i

n = log(C_n / C₀)log(1 + i)

—

n = SM − S · c

—

Ssomme empruntée (€)

—

S = a · 1 −1(1 + i)ⁿi

S = M1n + c = M · n1 + c · n

—

a ou Mterme (€)

—

a = S · i1 −1(1 + i)ⁿ

M = Sn + S · c

a = C_n · i(1 + i)ⁿ − 1

Total payé

—

a × n

M × n

a × n

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 8/12

Dans la vie professionnelle · 1/2

En pratique

Où retrouve-t-on les pourcentages et les marges ?

voir p. 2

Entreprise

Fixer un prix de vente à partir du prix d'achat et de la marge visée
Suivre l'évolution du chiffre d'affaires (taux de croissance)

Commerce

Soldes, promotions et remises commerciales
Chaîne de vente : le PV du grossiste = le PA du détaillant

Vie courante

Hausse d'un loyer ou d'un salaire en %
Comparer deux prix après remise

Point commun : Un pourcentage se calcule toujours par rapport à une base : PA, PV ou valeur de départ.

Où retrouve-t-on la TVA ?

voir p. 2

Entreprise

Facturer : montant HTVA + TVA = total TVAC
Déclaration TVA mensuelle ou trimestrielle

Comptabilité (PCMN)

TVA à récupérer sur les achats : compte 411
TVA due sur les ventes : compte 451

Consommateur

Prix affichés TVAC en magasin
Taux selon le bien : 21 %, 12 %, 6 % ou 0 %

Point commun : Le bénéfice et les marges se calculent toujours HTVA.

Où retrouve-t-on les intérêts simples ?

voir p. 3

Entreprise

Placer un excédent de trésorerie quelques mois (compte à terme)
Intérêts de retard sur une facture impayée

Banque et crédit

Crédit de caisse et découvert : intérêts au prorata des jours
Avance à terme fixe (straight loan) : prêt court à échéance fixe
Crédit-pont : finance l’achat d’un logement en attendant la vente de l’ancien, généralement sur 1 à 2 ans. Lorsque les intérêts sont payés régulièrement, ils ne sont pas capitalisés ; le capital est remboursé à la vente.

Épargne

Compte à terme de quelques mois
Intérêts calculés au prorata des jours de placement
Bon d’État à coupons annuels, sans capitalisation.

Critère décisif : les intérêts ne sont pas capitalisés. Une durée courte (moins d'un an) n'est qu'un indice fréquent.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 9/12

Dans la vie professionnelle · 2/2

En pratique

Où retrouve-t-on l'intérêt composé ?

voir p. 4

Entreprise

Trésorerie placée plusieurs années : intérêts capitalisés
Comparer des projets : actualiser les montants futurs, C₀ = C_n / (1 + i)ⁿ

Banque et crédit

Crédit hypothécaire, prêt à tempérament : taux mensuel équivalent au taux annuel
TAEG : Taux Annuel Effectif Global

Épargne

Compte d'épargne : intérêts ajoutés au capital une fois par an
Épargne-pension, assurance-vie, bons de caisse capitalisés

Critère décisif : les intérêts sont capitalisés (ajoutés au capital). Une durée longue (plus d'un an) n'est qu'un indice fréquent.

Où retrouve-t-on les annuités de remboursement ?

voir p. 5

Entreprise

Emprunt pour investir (machine, véhicule, bâtiment)
Tableau d'amortissement : intérêts en charges financières (classe 65)

Banque et crédit

Crédit hypothécaire pour un logement
Prêt à tempérament (voiture, équipement) et leasing

Ménages

Comparer des offres de crédit grâce au TAEG
Vérifier qu'une mensualité reste supportable

Point commun : Des versements constants remboursent le capital et paient les intérêts.

Où retrouve-t-on les annuités de placement ?

voir p. 6

Entreprise

Mettre de côté chaque année pour remplacer une machine
Préparer un futur investissement

Banque et assurance

Épargne-pension et assurance-vie à versements réguliers
Plan d'épargne ou d'investissement mensuel

Ménages

Épargner chaque mois pour un projet (études, apport pour un logement)
Calculer le versement nécessaire pour atteindre un objectif

Point commun : Des versements constants constituent un capital grâce aux intérêts composés.

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 10/12

Annuités · schéma

Les dates des versements

Une formule d'annuité donne une valeur à une date précise. Placer les versements sur une ligne du temps évite la plupart des erreurs.

Annuités de remboursement : 1^er paiement une période après le prêt

S reçu

· · ·

0
jour du prêt

…

n
dernier a

La formule calcule une valeur à la date 0

S = a · 1 −1(1 + i)ⁿi

Ce qu'il faut retenir

Le prêt S est reçu à la date 0.
Les n termes a sont payés aux dates 1, 2, …, n.
Après le dernier terme, le CRD vaut 0.

Annuités de placement : à quelle date vaut C_n ?

· · ·

a et C_n

C_n × (1 + i)¹

…

n
dernier versement

n + 1
une période plus tard

Valeur au dernier versement (date n)

C_n = a · (1 + i)ⁿ − 1i

Valeur une période plus tard (date n + 1)

C_n × (1 + i)¹

Ici n = 1 : une seule période de capitalisation.

Exemple de la p. 6 : C_n = 13 259,68 € le jour du 120^e versement.

Un mois plus tard, sans nouveau versement : 13 259,68 × 1,00165158¹ ≈ 13 281,58 €.

Une seule convention dans le cours : le terme échu

Toutes les annuités du cours sont payables à terme échu, c'est-à-dire en fin de période.
L'origine de la suite (date 0) est située une période avant le premier versement.
Le dernier versement a lieu à la date n.

Déplacer une valeur dans le temps

Avancer d'une période : × (1 + i )¹
Avancer de n périodes : × (1 + i )ⁿ
Reculer d'une période : ÷ (1 + i )¹

Repérer la date demandée

« au dernier versement » → C_n
« le capital reste placé encore n périodes » → C_n × (1 + i )ⁿ

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 11/12

Repères · calendrier

Décomposition d’une année civile

Combien de périodes dans une année ? Utile pour exprimer n dans la bonne unité et pour trouver p dans les taux équivalents.

Les périodes de l’année

Mois

Janv.

Févr.

Mars

Avr.

Mai

Juin

Juil.

Août

Sept.

Oct.

Nov.

Déc.

Trimestres

T1 : janv. – mars

T2 : avr. – juin

T3 : juil. – sept.

T4 : oct. – déc.

Quadrimestres

Q1 : janv. – avr.

Q2 : mai – août

Q3 : sept. – déc.

Semestres

S1 : janv. – juin

S2 : juil. – déc.

Durées à connaître

Période	Nb par an (p)	Durée en mois	Durée en jours
Année	1	12 mois	365 jours
Semestre	2	6 mois	181 à 184 jours
Trimestre	4	3 mois	90, 91 ou 92 jours
Quadrimestre	3	4 mois	120 à 123 jours
Mois	12	1 mois	28, 29, 30 ou 31 jours

À retenir

1 année = 12 mois = 365 jours (366 si bissextile)
1 semestre = 6 mois = 181 à 184 j
1 trimestre = 3 mois = 90 à 92 j
1 quadrimestre = 4 mois = 120 à 123 j

Durée des mois

31 j : janv., mars, mai, juil., août, oct., déc.
30 j : avr., juin, sept., nov.
28 ou 29 j : février

Dans les calculs

Taux équivalents (p. 4) : p = nombre de périodes dans l’année (semestre 2, trimestre 4, quadrimestre 3, mois 12).
Durée en jours (p. 3) : placement → jours réels, année de 365/366 j ; remboursement → 360 j (12 mois de 30 j). Convention du cours.
Annuités (p. 5 et 6) : n = nombre de versements, compté dans la période des versements (ex. 10 ans de mensualités → n = 120).

% & TVA Int. simples Int. composés Remboursement Placement Formulaire Par facteur En pratique

p. 12/12

Mathématiques financières

Quel chapitre pour mon exercice ?

La méthode pour les intérêts et les annuités (p. 3 à 6)

Rédiger une réponse complète

Pourcentages, marges & TVA

Prix, bénéfice et marges

TVA : passer du HTVA au TVAC

Les intérêts simples

Trouver l'inconnue

Méthode en 4 étapes

Les intérêts composés

Les taux équivalents

Annuités de remboursement

Tableau d'amortissement · 25 000 € sur 5 ans à 6 %/an

Annuité de placement

Le formulaire complet

Je cherche… dans quel chapitre ?

En pratique

En pratique

Les dates des versements

Annuités de remboursement : 1er paiement une période après le prêt

Annuités de placement : à quelle date vaut Cn ?

Une seule convention dans le cours : le terme échu

Décomposition d’une année civile

Les périodes de l’année

Durées à connaître

Tableau d'amortissement · 25 000 € sur 5 ans à 6 %/an

Annuités de remboursement : 1^er paiement une période après le prêt

Annuités de placement : à quelle date vaut C_n ?